「十二進法」の話

人類は、片手に5本の指を持っています。

小さな子供たちは、自らの手に備えられた5本ずつの指を折って、計算を行います。

私たちの祖先も、現代の私たちと同様に、数を数えはじめるときに両手の指を用いました。

そして、両手の指の数の総和である「10」を数の基本としました。

 

私たちの文明が「十進法」を基礎としたことは、まったく自然なことであるように思われます。

 

しかし、ときに、生活のなかに「十二進法」をみることもあります。

例えば、「ダース」という単位、時間の表記、カレンダーなどです。

 

「1ダース」の缶ジュースの箱の中には「12本」の缶がはいっています。

時計の表示は、その時針の1周を「12時間」としています。

また、現代の暦は、1年を12ヵ月の単位としています。

 

 

さらに、東洋の「十二支」、西洋の「星座(黄道十二宮)」なども「十二進法」にもとづくものであるといえるでしょう。

 

また、英語の「11」と「12」が独自の字形をもっているのは、「十二進法」の痕跡であると考えることができます。

 

※少し補足します。

「eleven」の語源は「(10の)1残り」、「twelve」の語源は「(10の)2残り」というものだそうです。ですから、これらの表記は「10」を基準としていることになり、ゆえに、英語は「十二進法」であるとはいえない、と考える人もいます。

しかし、この表示法は、「13」以降の数え方を統一しているのですから、12までの数字を「1セット」であると考えていることになります。当然、これは「十二進法」の数のとらえ方です。

 

実は、ドイツ語の数の表示もよく似た構成になっています。

英語とドイツ語は、もともとは、ヨーロッパの「ゲルマン人」という民族集団の、同一の言語でした。おそらく、「ゲルマン人」が持っていた「十進法」の文化に「十二進法」が混入したのでしょう。

そして、その後また「十進法」が優勢になっていったのではないかと考えられるのです。

 

 

 

さて、上記のように、「十二進法」は、頻繁に私たちの生活に立ち現れます。

「十進法」ほどではありませんが、「十二進法」もまた、私たちになじみ深いものであるといえるでしょう。

 

しかし、それにしても、「十二進法」は何をもとにして成立したのでしょう。

 

 

一説によれば、「十二進法」は、人差し指から小指の、4本の指それぞれの「3つの関節(節)」を数えたものだといわれています。すべてを合わせると「12」になります。実際に、片手の、親指以外の関節を用いて数を数える民族も存在するといわれています。

しかし、人類の文明に「十二進法」がもたらされた説明としては、すこし「弱い」と思います。

この説は、「指」にとらわれすぎていると思います。

 

 

「十進法」が「自然の表記法」であるとするならば、「十二進法」は「人知的な表記法」です。

その根底には、「数学的な感覚」があるように思います。

 

 

 

「円」は、ひとつの完成された図形です。

そして、もっとも安定し、もっとも簡易に描ける図形であるといえます。

円は、2本の棒を用いて「コンパス」を作ることで、描くことができます。

 

円を等分しようと思うとき、2等分することは、造作もありません。

中心を通る直線を引けば、円は2等分されます。

しかし、それ以上となると、少し面倒です。

端的に、円を正確に10等分することは、非常に困難です。

 

一方、円を6等分することは、容易です。

コンパスを用いて、円を中心から60度ずつに分けることができます。

さらにコンパスを使って、たやすく、正確に12等分することができます。

 

そこには、空間的、物理的に重要な意味を持つ、90度・「直角」があらわれます。

 

 

この、美しく厳かなバランスをたたえた精密な図形を、私たちの祖先が、測量の尺度にしようと考えたとしても不思議ではありません。

円を1周するのに、12の目盛を通過します。これを「位」として数字を表記するのです。

 

特に、循環する「時間」を計測する際には、円周上の目盛を用いることが、最も理にかなっています。

また、方位(角度)を見定める際にも、「円」にもとづいた計測が必要になります。

 

 

おそらく、「十二進法」の始原は、このような「理知的」な作業を根拠としています。

 

ある意味で、「単純」な「十進法」とは対照的なものです。

 

 

 

その他、4大文明のひとつである「メソポタミア文明」では、「六十進法」が使われていました。現代の私たちの感覚からすると、特異な印象を受けますね。

 

「六十進法」については、60は、多くの約数を持っている数字であるために便利であったという説明がなされます。私は、小学生のときに、ある先生に、「どろぼうが盗んだ財宝を山分けするのに便利だから彼らは『六十進法』を使っていたんだよ」と教えられました。

(「小数」や「分数」という概念を用いずに数量を割るときに、なるべく細分化された「位」であるほうが有用だったのです。)

 

同時に、10と12の「最小公倍数」であるということが、「六十進法」が用いられた理由のひとつであるような気がします。

 

 

ただし、これは、完全な「六十進法」ではありませんでした。

60個すべての「数字」に独自の表示が与えられているわけではないのです。

これらは、「十進法」を用いて数え、「六十」で「位取り」を行うものです。

 

同じような「六十進法」は、現代の「時間の単位」のなかにあらわれます。

「1時間」=「60分」、「1分」=「60秒」です。

 

 

 

1週間は7日ですから、ある意味では「七進法」です。

これは、ちょっと特殊な成り立ちです。

古代の人々が、神様に「6日働いて、1日休みなさい」と命じられたことがその由来です。

休みの日を「安息日」といいます。これが日曜日となりました。

 

そうすると、「週」は「六進法」の変形であるといえます。

「十二進法」の説明で触れたように、6もまた、安定的な数字です。

 

ちなみに、イスラム教の「安息日」は金曜日です。

 

 

 

「二十進法」もあります。

「二十進法」は、「十進法」を発展させたものであるとみることができます。

 

フランス語を学習する人は、みな、数の数え方に愕然とします。

 

フランス語の「70」は、「soixante-dix」(ソワサント ディス)と表記しますが、これは「60+10」を意味しています。英語でいえば「sixty-ten」と表記していることになります。

「80」には、さらに困惑させられます。「80」は「quatre-vingts」(キャトル ヴァン)と表記しますが、これは「4×20」を意味しています。英語でいえば「four-twenty」と表記していることになります。

「90」は「quatre-vingt-dix」(キャトル ヴァン ディス)で、「4×20+10」です。

英語でいえば「four-twenty-ten」となります。

 

このような、フランス語の、変則的な数の表記法は、「二十進法」の名残です。

古くは、「40」を「2×20」、「60」を「3×20」と表示していたはずです。

 

フランス語に現存する奇妙な表記法は合理的であるとはいえませんが、フランス人は、「文化」を堅持することに対して、ある種の「誇り」を感じているのかもしれません。

 

 

 

「五進法」は、「十進法」を前提として成立します。

5の二倍が10、あるいは、10の半数が5です。

 

ローマ数字は「五進法」を使っています。

 

Ⅰ=1

Ⅱ=2

Ⅲ=3

Ⅳ=4

Ⅴ=5

 

Ⅵ=6

Ⅶ=7

Ⅷ=8

Ⅸ=9

Ⅹ=10

 

また、クラス委員を決めるときなどの集計の際に用いられる「正」も、「五進法」であるといえます。

 

例:正正正正 =「20票」

 

 

 

「二進法」は、見えないところで私たちの生活を支えています。

コンピュータのプログラミングは、「二進法」を用いています。

 

中学入試では、「二進法」を用いた問題が出題されることもありますね。

 

 

 

その他にも、さまざまな数の表示法「~進法」が併用されていました。

それは、実は、「小数」という概念がなかったからです。

17世紀に「小数」が発明されたことによって、整数の「間」を表示することができるようになりました。それによって、ほとんどの「単位」が、ようやく「十進法」に統一されることになったのです。

 

 

しかし、それでも依然として残留している「例外」が存在します。

 

さて、みなさんは、それを、「面白い」と感じるのでしょうか、それとも、「面倒だ」と感じるのでしょうか。

 

(ivy 松村)

4 thoughts on “「十二進法」の話

  1. こんにちは。

    「時間は十二進法」と言われますが、誤いです。時間は十二進法ではありませんよ。真に十二進法なら、全て12→144→1728→20736で数字も単位も変化しなきゃおかしい。1/12世代=1年=12ヶ月=144日=1728時間じゃなければ十二進法じゃない。時計の数字も十はA、十一はB(甲)、十二は10(乙)、三十は26(二乙六)、六十は50(五乙)、百四十四が100じゃなければならない。
    そもそも、時間の十二の由来は「360日÷30日=12」で、一周が三百六十度なのは「一年の日数=三百六十」が由来ですから。360が全体値で、12と30の積に分けてるだけです。当然、三十も時間の単位数字です。1世代=30年=360ヶ月ですし、元々は1ヶ月=30日=360時間(一日を十二分割)でしたからね。
    十二進法は七百二十を「五倍」(十二進法で500、即ち5×144)と見なしますが、時間は七百二十を「二倍」(2×360)と見なします。これが決定的な差です。当然、時間では、九十(十二進法で76)も「(144の)八分の五」ではなく「(360の)四分の一」か「(30の)三倍」と見なされます。

    この外に、歴史的に十二進法と二十進法が重用されてきた要因は、「四で割り切れること」かつ「奇数で割り切れること」。十二なら四と三で割り切れますし、二十なら四と五で割り切れますね。目的によって三か五を取ることになります。
    「三人または四人」が中心なら、十二個入りが重宝されますし;「ドラえもん」や「キテレツ大百科」などの藤本弘アニメや、その後裔「妖怪ウォッチ」みたいな「四人または五人」が中心なら、二十個入りが重宝されますね。
    十進法が嫌悪され、十二進法や二十進法が支持されて来た原因に、「十進法は分割が不便」というのはかなり大きいはず。十二進法や二十進法が適用されたら、「1:3」で分けるフレーズは確実に存在したでしょうし、通貨も二分割じゃなくて四分割した単位で発行されて便利になったでしょう。比率なら「三分九分 (3:9)」や「五分戊分 (5:F)」は確実ですね。十二進法なら頭髪の「七三分け」じゃなくて「九三分け (四分割)」か「八四分け (三分割)」、二十進法なら「二八そば」じゃなくて「五戊そば (四分割)」か「四己そば (4:G。五分割)」で、清く分けられたでしょう。

      • >しかし、ときに、生活のなかに「十二進法」をみることもあります。例えば、時間の表記、カレンダーなどです。

        ivy管理人様、あなたは「倍数」と「進法」を混同していませんか?
        例えば、「十→二十→三十→四十」「12→24→36→48」みたいに「倍加の繰り返し」で進むのは「倍数」であって、「十→百→千→万」「12→144→1728→20736」みたいに「冪乗(べきじょう)の繰り返し」で進むのが「進法」です。

        そもそも、時計が十二進法なら、短針が「2回転」しかしない(長針12回×短針2回=24時間)のに1日って、変じゃないですか?時計が十二進法なら、1日は24時間(12の2倍)じゃなくて144時間(12の12倍=12の2乗)ですよ。長針が12回転したら、同じく短針も12回転するのが十二進法です。
        長針1回転=1時間、長針12回転=短針1回転、長針144回転=短針12回転=1日の方が辻褄が合いますね。長針1回転が1個 で1時間 < 短針1回転が1打(ダース)で12時間 < 1日が1簍(グロス)で144時間、という風に。

        >ローマ数字は「五進法」

        あれは、五進法を「補助的に」使っている例です。ローマ数字とそろばんは、「五の段」と「一の段」による構成で、五で一旦繰り上げて、十で完全に繰り上げますから。一方、マヤ数字は「五の段」と「一の段」による構成ですが、二十進法ですから、二十で完全に繰り上げます。もし、そろばんが十二進法であれば、「三の段」と「一の段」による構成もありえます。
        補助的に使うといえば、六十進法も同じです。バビロニアの六十進法は、「十の段」と「一の段」による構成で、十進法を「補助的に」使っていますね。十で一旦繰り上げて、六十で区切り符号を付けて完全に繰り上げる方法です。長さの単位である1町=60間=360尺も似た方法で、六と十の積に分解した六十進法と言えますが。

        >1週間は7日ですから、ある意味では「七進法」です。「週」は「六進法」の変形であるといえます。

        それは誤(まちが)い。7週間=49日を意味する単位とか、6日×6回=36日を意味する単位が無いですから。

        • あなたの投稿は、何というか、個人商店の八百屋にズカズカとあがりこんできて、「その値段で西瓜を売っているのはおかしい!それから、西瓜は果物ではなく野菜だ!」とわめいているような、ちょっと唖然とする行動に近いように思います。

          「正しいこと」を広めたいという思いは、尊重したい気持ちもありますが、こうした言葉のやり取りも一種のコミュニケーションであるわけです。
          「みな」が、あなたの言葉に対して、素直に平服するような反応を期待しているのなら、それを促すような「作法」を試みてはいかがでしょうか。

          さらにいえば、あなたは、私の文章の「テーマ」というもの無視しています。私は、小学生や中学生に向けて、勉強に興味を持ってもらいたいという願いを込めて、これを書いたのです。

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